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de.sci.mathematik > Alkuin und der Kohlkopf
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Hermann Kremer   11 Jun. 2004 19:33     Optionen anzeigen
Newsgroups: de.sci.mathematik, de.rec.denksport
Von: "Hermann Kremer" <hermann.kre...@onlinehome.de>Nachrichten von diesem Autor suchen
Datum: Fri, 11 Jun 2004 19:33:30 +0200
Lokal: Fr 11 Jun. 2004 19:33
Betreff: Alkuin und der Kohlkopf
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Hermann Kremer schrieb in Nachricht ...

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  6. Alkuin und die Ölflaschen und die Alcuin'sche Folge OEIS-A005044
=====================================================================

Wie schon erwähnt, ist die Aufgabe Nr. 12 aus den "Propositiones ad acuendos
juvenes" ebenfalls eine Verteilungsaufgabe, die sich aber von den übrigen
Aufgaben dieses Typs deutlich unterscheidet; m.E. ist es die mathematisch
interessanteste und anspruchsvollste Aufgabe der ganzen Sammlung.

   XII. PROPOSITIO DE QUODAM PATREFAMILIAS ET TRIBUS FILIIS EIUS

   Quidam paterfamilias moriens dimisit in hereditate tribus filiis
   suis XXX ampullas vitreas, quarum decem fuerunt plenae oleo,
   aliae decem dimidia, tertiae decem vacuae.
   Dividat, qui potest, oleum et ampullas, ut unicuique eorum de
   tribus filiis aequaliter obveniat tam de vitro quam de oleo.

   SOLUTIO:
   Tres igitur sunt filii et XXX ampullae. Ampullarum autem
   quaedam X sunt plenae et X mediae et X vacuae. Duc ter decies,
   fiunt XXX. Unicuique filio veniunt X ampullae in portionem.
   Divide autem per tertiam partem, hoc est, da primo filio X
   semiplenas ampullas, ac deinde da secundo V plenas et V
   vacuas, similiterque dabis tertio, et erit trium aequa
   germanorum divisio tam in oleo quam in vitro.

   5.   AUFGABE VON EINEM FAMILIENVATER UND SEINEN DREI SÖHNEN

   Ein Familienvater vererbte seinen drei Söhnen 30 gläserne
   Flaschen (ampullas vitreas), von denen 10 mit Öl ganz gefüllt,
   10 weitere halb gefüllt, und die restlichen 10 leer waren.
   Es teile, wer kann, das Öl und die Flaschen so, daß ein jeder
   der drei Söhne die gleiche Menge an Öl und Flaschen erhält.

   LÖSUNG:
   Es gibt 3 Söhne und 30 Flaschen. 10 Flaschen sind voll, 10 sind
   halb voll, und 10 sind leer. Rechne 3 mal 10, macht 30. Auf
   jeden Sohn kommen anteilig 10 Flaschen. Teile aber auch [den
   Inhalt] in 3 Teile, das heißt, gib dem ersten Sohn 10 halbvolle
   Flaschen, dann dem zweiten Sohn 5 volle und 5 leere und dem
   dritten das gleiche, und es wird die Teilung unter den drei
   Brüdern gleich sein sowohl für das Öl als auch für die Flaschen.

Wie üblich war für Alkuin die Sache damit erledigt; die Idee, daß es womöglich
noch weitere Lösungen geben könne, war ihm wahrscheinlich gar nicht gekommen.
Dabei bieten sich weitere Lösungen direkt an, wenn man beachtet, daß ein Erbe
ja immer zwei halbvolle Flaschen bei einem anderen Erben gegen eine volle und
eine leere Flasche eintauschen kann, ohne daß sich die Bilanz ändert.
Zählt man nur die nichtäquivalenten Lösungen, die nicht durch eine Permutation
der Brüder entstehen, und setzt man

:  L1, L2, L3 = Anzahl der leeren Flaschen für Sohn 1, 2, 3 ,
:  H1, H2, H3 = Anzahl der halben Flaschen für Sohn 1, 2, 3 ,
:  V1, V2, V3 = Anzahl der vollen Flaschen für Sohn 1, 2, 3 ,

so kann man durch solche Nullsummmen-Vertauschungen aus Alkuin's Lösung

:  L1  H1  V1  |  L2  H2  V2  |  L3  H3  V3
: -------------+--------------+-------------
:   0  10   0  |   5   0   5  |   5   0   5     10 = 0+5+5 / 10+0+0
: -------------+--------------+-------------

noch mühelos die weiteren vier Lösungen

: -------------+--------------+-------------
:   1   8   1  |   4   2   4  |   5   0   5     10 = 1+4+5 /  8+2+0
: -------------+--------------+-------------
:   2   6   2  |   3   4   3  |   5   0   5     10 = 2+3+5 /  6+4+0
: -------------+--------------+-------------
:   3   4   3  |   3   4   3  |   4   2   4     10 = 3+3+4 /  4+4+2
: -------------+--------------+-------------
:   4   2   4  |   2   6   2  |   4   2   4     10 = 4+2+4 /  2+6+2
: -------------+--------------+-------------

erhalten.

Eine naheliegende Verallgemeinerung besteht nun darin, anstatt jeweils 10
Flaschen von jedem der Typen  L, H, V  zu betrachten, jeweils die gleiche, aber
beliebige Anzahl N von Flaschen zu betrachten. Dann gilt für die Flaschenbilanz

:  L1 + L2 + L3 = N
:  H1 + H2 + H3 = N             (1)
:  V1 + V2 + V3 = N ,

und bei einer gerechten Verteilung muß für das Öl gelten:

:       (1/2)*H1 + V1 = N/2
:       (1/2)*H2 + V2 = N/2     (2)
:       (1/2)*H3 + V3 = N/2

und für die Flaschen:

:  L1 +       H1 + V1 = N
:  L2 +       H2 + V2 = N       (3)
:  L3 +       H3 + V3 = N .

Eliminiert man jetzt aus den Gln.(2) und (3) die halbvollen Flaschen  H_i, so
erhält man

:  L1 = V1
:  L2 = V2                      (4)
:  L3 = V3  ,

d.h., jeder Erbe erhält immer gleichviele leere und volle Flaschen. Setzt man
dies in Gl.(3) ein, so folgt

:  H1 = N - 2*V1
:  H2 = N - 2*V2                (5)
:  H3 = N - 2*V3 ,

und damit die Anzahlen der halbvollen Flaschen nichtnegativ sind, muß

:  V1  <=  N/2
:  V2  <=  N/2                  (6a)
:  V3  <=  N/2

gelten, und wegen Gl.(1) zusätzlich

:  V1 + V2 + V3 = N  .          (6b)

Man erhält also sämtliche Lösungen des Ölflaschenproblems für N leere, N halb-
volle und N volle Flaschen, wenn man N in alle möglichen Summen dreier Zahlen
kleiner oder gleich N/2 zerlegt und gegebenenfalls diejenigen Lösungen, die
lediglich Permutationen anderer Lösungen sind, nachträglich streicht.

Etwa 400 Jahre nach Alkuin hat übrigens Leonardo da Pisa Fibonacci das gleiche
Problem für jeweils  N = 7  leere, halbvolle und volle Weinfässer gestellt, und
gemäß Gl.(6) erhält man die beiden nichtpermutierten Lösungen

:  L1  H1  V1  |  L2  H2  V2  |  L3  H3  V3
: -------------+--------------+-------------
:   1   5   1  |   3   1   3  |   3   1   3      7 = 1+3+3 / 5+1+1
: -------------+--------------+-------------
:   2   3   2  |   2   3   2  |   3   1   3      7 = 2+2+3 / 3+3+1
: -------------+--------------+-------------

Das Ölflaschen- bzw. Weinfässer-Verteilungsproblem (Barrel sharing problem) ist
nun isomorph zu dem geometrischen Problem, sämtliche ganzzahligen Dreiecke mit
gegebenem ganzzahligem Umfang  N  zu finden. Bezeichnet man nämlich die Seiten
des Dreiecks mit  x, y, z,  so muß

  x + y + z = N

gelten, und aus den Dreiecksungleichungen

  x  <=  y + z
  y  <=  z + x
  z  <=  x + y

ergeben sich durch Addition von  x  zur ersten, von  y  zur zweiten und von  z
zur dritten die Ungleichungen

  x  <=  (x+y+z)/2 = N/2
  y  <=  (x+y+z)/2 = N/2
  z  <=  (x+y+z)/2 = N/2  ,

und das sind aber genau die Gln.(6) für die Flaschen.

Die Anzahl möglicher Lösungen für das Flaschen-/Fässer-Problem ist demnach
gleich der Anzahl der Lösungen für das Ganzzahldreieck-Problem, wobei entartete
Dreiecke mit  x = y + z  usw. mitgezählt sind, und letzteres ist sehr intensiv
untersucht. Für die Umfangsfolge  N = 0,1,2,3,4, ... ergibt sich dabei als
Anzahl der nichtpermutierten Lösungen die Folge

  A(N) = {1,0,1,1,2,1,3,2,4,3,5,4,7,5,8,7,10,8,12,10,14,12,16,14,19,16, ...} ,

und die ist in Eric Weisstein's Mathworld und in Neil Sloane's OEIS als
"Alkuin'sche Folge" A005044  gelistet:
http://mathworld.wolfram.com/AlcuinsSequence.html
http://www.research.att.com/projects/OEIS?Anum=A005044

Explizit gilt für diese Folge

  A(N) = nint((N+6)^2/48) für N gerade,  = nint((N+3)^2/48) für N ungerade ,

wobei  nint(...)  die "nearest integer"-Funktion bedeutet:

  nint(n + eps) =  n  für eps < 1/2
  nint(n + eps) = n+1 für eps > 1/2
  nint(n + eps) = nächste gerade Zahl für eps = 1/2 ,

siehe
http://mathworld.wolfram.com/NearestIntegerFunction.html  .

Für die 10 Alkuin'schen Flaschen erhalten wir aus dieser Folge A(10) = 5, und
für die 7 Fibonacci'schen Fässer den Wert A(7) = 2, wie es auch sein soll.

Jetzt wissen wir zwar, was der Name "Alkuin'sche Folge" mit unserem Alkuin von
York zu tun hat, aber leider habe ich bisher noch nicht herausfinden können,
wer den Namen eigentlich geprägt hat. Die Bibliographie von David Singmaster
http://anduin.eldar.org/~problemi/singmast/recchron.html
hilft hierbei nicht weiter, und das Paper

  David Singmaster: Triangles with Integer Sides and Sharing Barrels.
  College Mathematics Journal 21, No. 4 (1990),  p. 278 - 285
http://www2.edc.org/makingmath/handbook/Teacher/GettingInformation/Tr...
.pdf
http://www2.edc.org/makingmath/handbook/Teacher/GettingInformation/Ge....
asp
http://utenti.quipo.it/base5/alcuino/alcuintegra.htm

auch nicht.

Fortsetzung folgt ...

Grüße
   Hermann
--

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