Generator points of E(Q)/2E(Q) on y^2=x^3+ax (-1000 <= a <= -1) (using Cremona's mwrank.exe) (x , y)=(xp/zp , yp/zp) "x" before "a" indicates that the rank is not determined completely. a : rank : ( xp , yp , zp ) : height --------------------------------------- -1 : 0 : - -2 : 1 : ( -1 , -1 , 1 ) : 0.6087 -3 : 0 : - -4 : 0 : - -5 : 1 : ( -1 , -2 , 1 ) : 0.6355 -6 : 1 : ( -2 , -2 , 1 ) : 0.8442 -7 : 1 : ( 4 , -6 , 1 ) : 1.6343 -8 : 0 : - -9 : 0 : - -10 : 1 : ( -1 , -3 , 1 ) : 1.2815 -11 : 0 : - -12 : 1 : ( -2 , -4 , 1 ) : 0.2506 -13 : 0 : - -14 : 1 : ( 8 , 20 , 1 ) : 1.9173 -15 : 1 : ( 4 , -2 , 1 ) : 1.7242 -16 : 0 : - -17 : 2 : ( -1 , -4 , 1 ) : 1.1722 -17 : 2 : ( 9 , -24 , 1 ) : 2.0318 -18 : 0 : - -19 : 0 : - -20 : 1 : ( -4 , -4 , 1 ) : 1.1220 -21 : 1 : ( -3 , -6 , 1 ) : 0.8722 -22 : 1 : ( -2 , -6 , 1 ) : 1.3691 -23 : 1 : ( 1620 , 5418 , 125 ) : 5.9308 -24 : 0 : - -25 : 1 : ( -4 , -6 , 1 ) : 1.8995 -26 : 1 : ( -1 , -5 , 1 ) : 1.7129 -27 : 0 : - -28 : 0 : - -29 : 0 : - -30 : 1 : ( 6 , 6 , 1 ) : 1.2184 -31 : 1 : ( 16 , -60 , 1 ) : 2.9146 -32 : 1 : ( -4 , -8 , 1 ) : 0.6087 -33 : 0 : - -34 : 1 : ( 50 , -45 , 8 ) : 3.5470 -35 : 0 : - -36 : 1 : ( -3 , -9 , 1 ) : 0.8886 -37 : 1 : ( -1 , -6 , 1 ) : 1.5299 -38 : 1 : ( -150 , -170 , 27 ) : 3.9887 -39 : 1 : ( 50 , -5 , 8 ) : 3.5652 -40 : 0 : - -41 : 1 : ( -4 , -10 , 1 ) : 2.0932 -42 : 1 : ( -6 , -6 , 1 ) : 1.2991 -43 : 0 : - -44 : 0 : - -45 : 1 : ( 9 , -18 , 1 ) : 1.0258 -46 : 1 : ( 8 , 12 , 1 ) : 2.0368 -47 : 1 : ( 192 , 136 , 27 ) : 4.4956 -48 : 0 : - -49 : 1 : ( 336 , -980 , 27 ) : 2.9889 -50 : 1 : ( -1 , -7 , 1 ) : 2.0175 -51 : 0 : - -52 : 1 : ( -4 , -12 , 1 ) : 1.4962 -53 : 1 : ( -5 , -182 , 125 ) : 4.8600 -54 : 1 : ( -2 , -10 , 1 ) : 1.7615 -55 : 1 : ( 98 , -273 , 8 ) : 4.1220 -56 : 2 : ( 8 , 8 , 1 ) : 1.3685 -56 : 2 : ( 9 , -15 , 1 ) : 2.4965 -57 : 1 : ( -3 , -12 , 1 ) : 1.2855 -58 : 1 : ( -605 , -1617 , 125 ) : 5.4889 -59 : 0 : - -60 : 1 : ( -6 , -12 , 1 ) : 0.5674 -61 : 0 : - -62 : 1 : ( 8 , 4 , 1 ) : 2.0752 -63 : 0 : - -64 : 0 : - -65 : 2 : ( -1 , -8 , 1 ) : 1.7949 -65 : 2 : ( 9 , -12 , 1 ) : 2.1683 -66 : 1 : ( -8 , -4 , 1 ) : 2.0907 -67 : 0 : - -68 : 0 : - -69 : 1 : ( 12 , 30 , 1 ) : 2.1932 -70 : 1 : ( -5 , -15 , 1 ) : 1.5472 -71 : 1 : ( 36 , -210 , 1 ) : 3.6824 -72 : 1 : ( 9 , -9 , 1 ) : 1.4295 -73 : 1 : ( -80 , -852 , 125 ) : 5.3974 -74 : 1 : ( -845 , -1729 , 125 ) : 5.6568 -75 : 0 : - -76 : 1 : ( -2 , -12 , 1 ) : 1.0494 -77 : 2 : ( -7 , -14 , 1 ) : 1.1417 -77 : 2 : ( 9 , -6 , 1 ) : 2.1904 -78 : 1 : ( 75 , 645 , 1 ) : 3.8198 -79 : 1 : ( 21280000 , -11871600 , 2352637 ) : 12.3248 -80 : 1 : ( -4 , -16 , 1 ) : 0.6355 -81 : 0 : - -82 : 3 : ( -1 , -9 , 1 ) : 2.2519 -82 : 3 : ( 18 , 66 , 1 ) : 2.7403 -82 : 3 : ( 98 , -231 , 8 ) : 4.1637 -83 : 0 : - -84 : 1 : ( -3 , -15 , 1 ) : 1.8005 -85 : 1 : ( -9 , -6 , 1 ) : 2.2148 -86 : 1 : ( -6 , -118 , 27 ) : 4.0887 -87 : 1 : ( 16 , -52 , 1 ) : 2.9956 -88 : 0 : - -89 : 1 : ( -320 , -1816 , 125 ) : 5.5765 -90 : 2 : ( -9 , -9 , 1 ) : 1.4838 -90 : 2 : ( 24 , 108 , 1 ) : 1.8920 -91 : 0 : - -92 : 0 : - -93 : 0 : - -94 : 1 : ( 3584 , 4320 , 343 ) : 6.2185 -95 : 1 : ( 162 , -639 , 8 ) : 4.5836 -96 : 1 : ( -8 , -16 , 1 ) : 0.8442 -97 : 2 : ( -4 , -18 , 1 ) : 2.4503 -97 : 2 : ( 49 , -336 , 1 ) : 3.6310 -98 : 0 : - -99 : 1 : ( 900 , 2385 , 64 ) : 4.5798 -100 : 0 : - -101 : 1 : ( -1 , -10 , 1 ) : 2.0049 -102 : 1 : ( -2 , -14 , 1 ) : 2.0505 -103 : 1 : ( 4884100 , 86305362 , 15625 ) : 12.1973 -104 : 0 : - -105 : 1 : ( -5 , -20 , 1 ) : 1.3671 -106 : 1 : ( -9 , -15 , 1 ) : 2.6433 -107 : 0 : - -108 : 0 : - -109 : 0 : - -110 : 1 : ( -10 , -10 , 1 ) : 1.5328 -111 : 1 : ( 98 , -175 , 8 ) : 4.1993 -112 : 1 : ( 16 , -48 , 1 ) : 1.6343 x -113 : 0-2 : ( ? , ? , ? ) : -114 : 1 : ( -8 , -20 , 1 ) : 2.2965 -115 : 0 : - -116 : 1 : ( -4 , -20 , 1 ) : 1.8341 -117 : 2 : ( -9 , -18 , 1 ) : 1.2353 -117 : 2 : ( 12 , 18 , 1 ) : 1.7056 -118 : 1 : ( -163350 , -397430 , 19683 ) : 8.9098 -119 : 1 : ( 300 , -190 , 27 ) : 4.9468 -120 : 0 : - -121 : 0 : - -122 : 1 : ( -1 , -11 , 1 ) : 2.4421 -123 : 0 : - -124 : 1 : ( 18 , 60 , 1 ) : 1.9118 -125 : 0 : - -126 : 0 : - -127 : 1 : ( 64 , -504 , 1 ) : 4.2346 -128 : 0 : - -129 : 0 : - -130 : 1 : ( -9 , -21 , 1 ) : 2.7207 -131 : 0 : - -132 : 2 : ( -2 , -16 , 1 ) : 1.4766 -132 : 2 : ( 12 , 12 , 1 ) : 1.5774 -133 : 1 : ( 175 , 2310 , 1 ) : 3.8747 -134 : 1 : ( -294 , -350 , 27 ) : 4.6298 -135 : 1 : ( 16 , 44 , 1 ) : 3.0405 -136 : 2 : ( -8 , -24 , 1 ) : 1.6722 -136 : 2 : ( 98 , 105 , 8 ) : 4.2252 -137 : 1 : ( -4 , -22 , 1 ) : 2.5997 -138 : 1 : ( 1920 , 4848 , 125 ) : 5.3344 -139 : 0 : - -140 : 1 : ( -10 , -20 , 1 ) : 0.7563 -141 : 2 : ( 12 , 6 , 1 ) : 2.2793 -141 : 2 : ( 25 , -110 , 1 ) : 3.0593 -142 : 1 : ( 32 , 168 , 1 ) : 3.2700 -143 : 1 : ( 666540 , -1679322 , 42875 ) : 10.1354 -144 : 0 : - -145 : 2 : ( -1 , -12 , 1 ) : 2.1786 -145 : 2 : ( 242 , -1221 , 8 ) : 4.9559 -146 : 1 : ( 162 , -585 , 8 ) : 4.6219 -147 : 1 : ( 98 , 49 , 8 ) : 2.2897 -148 : 1 : ( -180 , -1812 , 125 ) : 5.0762 -149 : 1 : ( -1445 , -1666 , 125 ) : 5.7063 -150 : 1 : ( -5 , -25 , 1 ) : 1.0596 -151 : 1 : ( 81356 , 623070 , 1331 ) : 8.9945 -152 : 0 : - -153 : 0 : - -154 : 1 : ( -28 , -525 , 64 ) : 4.3340 -155 : 2 : ( 20 , 70 , 1 ) : 2.4267 -155 : 2 : ( 3174 , 6463 , 216 ) : 6.5748 -156 : 2 : ( -3 , -21 , 1 ) : 2.0769 -156 : 2 : ( 16 , -40 , 1 ) : 2.3638 -157 : 0 : - -158 : 1 : ( 5600 , 14440 , 343 ) : 6.6192 -159 : 1 : ( 705740 , -1840462 , 42875 ) : 10.1916 -160 : 1 : ( -4 , -24 , 1 ) : 1.2815 -161 : 2 : ( -7 , -28 , 1 ) : 1.4339 -161 : 2 : ( 81 , -720 , 1 ) : 4.1157 -162 : 1 : ( -9 , -27 , 1 ) : 0.6087 -163 : 0 : - -164 : 0 : - -165 : 1 : ( 15 , 30 , 1 ) : 1.3139 -166 : 1 : ( -2 , -18 , 1 ) : 2.2766 -167 : 1 : ( 30276 , 185426 , 729 ) : 8.2492 -168 : 0 : - -169 : 1 : ( -180 , -1938 , 125 ) : 5.8325 -170 : 1 : ( -1 , -13 , 1 ) : 2.6020 -171 : 1 : ( -12 , -18 , 1 ) : 1.7961 -172 : 0 : - -173 : 0 : - -174 : 1 : ( 150 , 1830 , 1 ) : 4.1537 -175 : 1 : ( 16 , 36 , 1 ) : 3.0705 -176 : 0 : - -177 : 0 : - -178 : 1 : ( 1601780 , 22614813 , 8000 ) : 11.3206 -179 : 0 : - -180 : 0 : - -181 : 1 : ( -9 , -30 , 1 ) : 2.5030 -182 : 1 : ( 14 , 14 , 1 ) : 1.6562 -183 : 1 : ( 99066110 , -840435349 , 1331000 ) : 13.7889 -184 : 2 : ( 72 , 600 , 1 ) : 3.3177 -184 : 2 : ( 25 , -105 , 1 ) : 3.4286 -185 : 1 : ( -4 , -26 , 1 ) : 2.7321 -186 : 1 : ( -6 , -30 , 1 ) : 1.8918 -187 : 0 : - -188 : 1 : ( 50 , 340 , 1 ) : 2.8134 -189 : 0 : - -190 : 1 : ( -10 , -30 , 1 ) : 1.7400 -191 : 1 : ( 9072 , 39780 , 343 ) : 7.3701 -192 : 1 : ( -8 , -32 , 1 ) : 0.2506 x -193 : 0-2 : ( ? , ? , ? ) : -194 : 1 : ( 900 , 465 , 64 ) : 5.7601 -195 : 0 : - -196 : 1 : ( 18 , -48 , 1 ) : 2.1341 -197 : 1 : ( -1 , -14 , 1 ) : 2.3268 -198 : 0 : - -199 : 1 : ( 100 , -990 , 1 ) : 4.6665 -200 : 0 : - -201 : 1 : ( -3 , -24 , 1 ) : 1.8458 -202 : 1 : ( -9 , -33 , 1 ) : 2.8932 x -203 : 0-2 : ( ? , ? , ? ) : -204 : 1 : ( -2 , -20 , 1 ) : 1.5070 -205 : 2 : ( -5 , -30 , 1 ) : 1.6526 -205 : 2 : ( 338 , -2067 , 8 ) : 5.2685 -206 : 1 : ( 392 , 7756 , 1 ) : 5.6412 -207 : 2 : ( 16 , -28 , 1 ) : 3.0912 -207 : 2 : ( 162 , -513 , 8 ) : 3.5590 -208 : 0 : - -209 : 0 : - -210 : 1 : ( 15 , 15 , 1 ) : 1.6913 -211 : 0 : - -212 : 1 : ( -4 , -28 , 1 ) : 2.0997 -213 : 1 : ( 300 , 5190 , 1 ) : 5.1763 -214 : 1 : ( -882 , -11690 , 729 ) : 6.7676 -215 : 1 : ( 162624 , 374968 , 9261 ) : 9.2550 -216 : 0 : - -217 : 1 : ( 28 , 126 , 1 ) : 2.5635 -218 : 1 : ( -1805 , -1463 , 125 ) : 6.2517 -219 : 2 : ( -12 , -30 , 1 ) : 2.4385 -219 : 2 : ( 187500 , 1934875 , 1728 ) : 9.7161 -220 : 2 : ( 20 , 60 , 1 ) : 1.7705 -220 : 2 : ( 16 , -24 , 1 ) : 2.4059 -221 : 2 : ( -13 , -26 , 1 ) : 1.3817 -221 : 2 : ( 162 , -495 , 8 ) : 4.6648 -222 : 1 : ( 27 , 117 , 1 ) : 2.9593 -223 : 1 : ( 4182825920 , 26249846232 , 94196375 ) : 16.1716 -224 : 1 : ( 32 , 160 , 1 ) : 1.9173 -225 : 1 : ( -30 , -225 , 8 ) : 1.4913 -226 : 3 : ( -1 , -15 , 1 ) : 2.7400 -226 : 3 : ( 18 , 42 , 1 ) : 2.8441 -226 : 3 : ( 242 , -1155 , 8 ) : 4.9902 -227 : 0 : - -228 : 0 : - -229 : 1 : ( -26325 , -70290 , 2197 ) : 7.7878 -230 : 1 : ( -15 , -305 , 27 ) : 4.1281 -231 : 1 : ( 16 , 20 , 1 ) : 3.1054 -232 : 0 : - -233 : 1 : ( -1280 , -4528 , 125 ) : 6.1953 -234 : 0 : - -235 : 0 : - -236 : 0 : - -237 : 0 : - -238 : 1 : ( 200 , 2820 , 1 ) : 4.9860 -239 : 1 : ( 187200 , 1699320 , 2197 ) : 9.6529 -240 : 1 : ( 16 , -16 , 1 ) : 1.7242 -241 : 2 : ( -4 , -30 , 1 ) : 2.8504 -241 : 2 : ( 121 , -1320 , 1 ) : 4.5053 -242 : 0 : - -243 : 0 : - -244 : 1 : ( -1620 , -3924 , 125 ) : 5.5730 -245 : 0 : - -246 : 1 : ( -2 , -22 , 1 ) : 2.4618 -247 : 1 : ( 16 , -12 , 1 ) : 3.1143 x -248 : 0-2 : ( ? , ? , ? ) : -249 : 1 : ( 243 , 3780 , 1 ) : 4.6262 -250 : 1 : ( -9 , -39 , 1 ) : 2.9792 -251 : 0 : - -252 : 2 : ( 18 , 36 , 1 ) : 0.8925 -252 : 2 : ( -3 , -27 , 1 ) : 1.7471 -253 : 0 : - -254 : 1 : ( 2898208 , 17391880 , 68921 ) : 10.9727 -255 : 1 : ( 16 , -4 , 1 ) : 3.1186 -256 : 0 : - -257 : 2 : ( -1 , -16 , 1 ) : 2.4558 -257 : 2 : ( 507 , -1144 , 27 ) : 5.0890 -258 : 1 : ( -2200 , -27340 , 1331 ) : 7.2710 -259 : 2 : ( -126 , -105 , 8 ) : 3.5325 -259 : 2 : ( 18150 , -163295 , 216 ) : 8.0966 -260 : 2 : ( -16 , -8 , 1 ) : 2.4317 -260 : 2 : ( 90 , 840 , 1 ) : 2.7324 -261 : 0 : - -262 : 1 : ( -6 , -206 , 27 ) : 4.6411 -263 : 1 : ( 170338502165570340 , -520947907941053762 , 7902597993656625 ) : 27.7505 -264 : 2 : ( -8 , -40 , 1 ) : 1.9411 -264 : 2 : ( 25 , -95 , 1 ) : 3.4632 -265 : 1 : ( -16 , -12 , 1 ) : 3.1318 -266 : 1 : ( 63 , 483 , 1 ) : 3.2787 -267 : 0 : - -268 : 1 : ( -150 , -980 , 27 ) : 3.9185 -269 : 0 : - -270 : 1 : ( 54 , 378 , 1 ) : 2.1203 -271 : 1 : ( 137832128 , 23323320 , 8365427 ) : 13.7747 -272 : 2 : ( -4 , -32 , 1 ) : 1.1722 -272 : 2 : ( 36 , -192 , 1 ) : 2.0318 -273 : 0 : - x -274 : 1-3 : ( 18 , 30 , 1 ) : 2.8682 -275 : 2 : ( 20 , 50 , 1 ) : 1.6849 -275 : 2 : ( 450 , -3225 , 8 ) : 3.9289 -276 : 1 : ( 48 , 312 , 1 ) : 2.7700 -277 : 1 : ( -9 , -42 , 1 ) : 2.6746 -278 : 1 : ( -920550 , -5297770 , 132651 ) : 10.4974 -279 : 0 : - -280 : 0 : - -281 : 1 : ( -16 , -20 , 1 ) : 3.1533 -282 : 1 : ( 24 , 84 , 1 ) : 2.5420 -283 : 0 : - -284 : 0 : - -285 : 2 : ( -15 , -30 , 1 ) : 1.4413 -285 : 2 : ( 49 , -322 , 1 ) : 3.6860 -286 : 1 : ( 22 , 66 , 1 ) : 1.8263 -287 : 1 : ( 144 , -1716 , 1 ) : 5.0214 -288 : 0 : - 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