sum(1/binomial(2*n,n),n=1..infinity) is directly evaluated by Maple 5.4 to be 1/2 1/3 + 2/27 3 Pi to 20000 digits it is... 0.7363998587187150779097951683649234960631258329094979056821966523084718\ 180280786408186944418249022597458272032180147834601769005542298684777329\ 448958806804159151429793343941639989097380834254081520029546146727664979\ 554751571056972458855740951911198864857982943332858183486148704579064932\ 468058211972940741711619867460165444854798895431427869742927249285985327\ 473801566591305125452367494154597773449101860414448973793322220865507304\ 585980050655111918933801733189032706818595729393779635256929202141436280\ 598160887630916476567640892005636816904176527926521540916821972505523264\ 477646813159383043809989583900078755611335395490521438524130346215345759\ 985479021180242189853342592703815843657856790178866385190995898476495781\ 464550452126640744368250524085879359954524202919686774100311819740383505\ 356065846433687090253752952485814436801506664224005219035174975843905156\ 824423431079657061167286839175370864381750319983345379171786501787295831\ 321668074575262367855285101696922360975795282761033968077326069723073543\ 573616136752770598926870860636888330288471937908335495042884423475368986\ 911334687783525148948833665210826724087759362930104491957624084105958440\ 084813904844648600837275900753941425416671926413895750925810421371599393\ 358345101977555228507417772627081243718690501795070391609106762011559463\ 874518010702442798884186664007069536001803435392690806890319403644155310\ 596885879552142057600603882868320968993240238440202319716346810079957571\ 020221896722334483775681697318917471137563485383225228649911292077456577\ 511784653951224933008623467218323585809692948343244822183715860799431397\ 843111259265529964568183944755658006249436143739081002580993486191617713\ 384505254748004055276920564892800974426637745936854433992859950568547723\ 992222576146818534469376991659299495181373910939859623280615309950723822\ 357276706381376971333400055507890369629671144645209089206408829725143227\ 143239262439409467945119975704832637247979436509103061419406586410776548\ 756643376838523004521513098519707917865397113277928971327643488807625724\ 349447764669137160821376646405681744392800665040855659744525801750548679\ 378835853093666865959142198916644675564784681057448914350646889540767701\ 384702110640878347772083750479628607659920573065454607354621294138461896\ 669468114347134179681434730385543806369943079146388369603658764729623075\ 124264159190956554739378174439560047718511984955612907990544142617973467\ 238961164197735289606994604876121553634648090288094977862949801794838114\ 144959362715714433045558597700879045017055041935896645512625676839066609\ 012114182064589452876827982018857721027359753577110593733822056974920798\ 472272340303410926074416757380116510672110864476029245971128463630640396\ 882163528812122139425744224224237891036346913201983292365826297099609535\ 637323816719366346839987046274392767209934800482798207005528230698024124\ 047244272886989633615810247662690341050275605794423038616591353038748869\ 995551171375487969842706554527472573796890416742369990550809010828385086\ 927115613772522871561638323004534980745424271416798442280767904935418706\ 787317950585902569520498385387678145956841949981607232753638895531606074\ 221517290178052769777912160139983163811877153220613237937457208229397935\ 857280011071604873627065601263296162773048651210360336839039119363303418\ 606610991268888764762068054952514201578443414524188780649387462763248909\ 765518285236015806532341796054906449963246566027425265961365713472533199\ 399823645584545378594089702403125747318319679445522258482335509203283357\ 492926508301252221421238755132339337319548684807151378996826169605423163\ 963188922785100754055474000369115427656809810848431705824833734874477777\ 886289604498112353334528040546193640429686967154853256222686669414076124\ 676263712595711247307171212516852264761458818805251714798522276600830319\ 574489928509770490725221510781607248699788662313789449630067501696027447\ 167858235051662437867965048479638220975849270323805075433655016847289681\ 171964340129573035639279168630783587625029235574773162687136946168663773\ 006356360339323836435089253398639950060864288668455903228801985974614614\ 393693829563698221665376071033509742445497846997911256354088678758395083\ 058492227718315243633676565105268274306835626005406465402937893142196972\ 161683839470036503521572377736343350473429064741414002707228464674612861\ 625367110864328621746856486190129356929108276603134615159314305590800217\ 891749246126808765859905654183905455008268638009284709965934269855917019\ 707530727184962831649616461668783204585081760083871294804050790621672634\ 928724971710422449502713611902056328842717241317083172611479467220912817\ 859463205112660612405268824185458433404202517443089696585363831473938744\ 559776310701375911350687114677890236178727845665398121821497141487787794\ 398767989626130355412843155828598733492897987214168351991548853839024732\ 114220764873266297713082071531990178681293199001698407454748289167896198\ 722277650734159829281504613568310671696738664718296271395039333029396554\ 465375951909128176179052477186805438849862007790513319480295261383413476\ 566036818697338996280048556273277732533654644024524081715115221168271814\ 124455835766378325735608439039176537043513493794971373575207612653887889\ 358225526535964234531942877433076933328557380966019632701669052763276603\ 166639275663976139391223664347289211586440077003126257009007777499685984\ 484324744882443826203487865007947531994266125521422759299452388200220195\ 951189528997518172004841707373013849165238951784622811416761673276452813\ 984759769888342983051983669229541866448247733356314268079535329620285212\ 550030055963097810869622060732947334239773784082588692253610804538633634\ 700757988261474268880728433876442370938541195171936209044018275980705651\ 074897297789274792848677404312463338957532028647700045104673214565802453\ 094097395578060406460154871054674649269457297136877128827084819310406586\ 691895669713155387829653583117446469705935680052419773236446746649771571\ 163837619115214839877076371025632024027760260137331504881586120001854688\ 324201495584844145612901038347082173258406029844692379397515989701389293\ 265492445837679212177668452986281195614686960240837552379607078174907995\ 535417683113871660932004152551431376571027290634335521719737576406226574\ 011695551527505435308375339211032443848988485541295681398245944003218579\ 843664000682486020961105060923345521579180175293293205140639567582730873\ 226884207757079436393284647676733579687612328257666182603120380602464319\ 365355762560464741887728815135325411949649793149190209376491723982781510\ 341812700357396769289462998949805517368148212857651799302935891685481130\ 238521860930506870953766792999730480291237015465705823483041214553013073\ 337464533068891419460678677574218212970152004775762603199287346163250037\ 683062719218586093582959989276072427179483510633312785174548682431681861\ 447077000792193998684659150633452955976625617811618096452749661598062117\ 065829665811362890936723390201059301452900098859194417383122348901461181\ 616049245037508237306702803908279569797612530399059489126232629590898740\ 183046348311786000456957455034213842237156676822119552695428970265312289\ 640980880655125557261963253674258951506015989055937440878326371283517064\ 732035482564414779653486019245307175486965425128001675903084125790524505\ 005118668274276343839711594028450617277471175329242821631599537559581502\ 064765961376686941345504218843312293976659000170512737736652921014537227\ 973853820918780960033458929222690697780171608111364385297842983934247244\ 504618086713363656974369631666350975732439400905799666512046352435594996\ 331858349463238151040659364966912901248285731468909719475795422735265104\ 766136460268352127044414959558862269678921823631566675169205878695042149\ 951389699015388396094512983880887930337368983839045584058350093859350841\ 450189069441102836167355479699095967940188585268661076293172914880224753\ 633259512442213084164471256104076454901650173971473554158066384307263949\ 847667661056577745477083501539120575585355203456696913458655874416136745\ 417178520772503601071845781037351995210452550844179206574713365612938726\ 921684644007003537497344198852170250433239613380762254345723512836668805\ 863935963684421820958865415558890695295697560280248683123506881885752264\ 313665490788951556321036909935387319335411774033037964980416258709654189\ 571633428295180423396640970879006911192800567658490259928948645287653569\ 667333928643643403828022477392688028107375032585580627305565573670128110\ 163383200849838618453532291453264551767803113628571486833720684710384562\ 229827895932434748076376589525455592506562242527852221006343278021060517\ 965571918110392853366444229316021080885861735773827973873085949271341573\ 802184422957089932268364643250000216172917008619869369120502042619666138\ 890815979116140123831871341395354470364852245584399603873405579271353394\ 174525868873567758344583367425166613963522358867277217011435987407915397\ 289394406966490922203307061473479951147282978827477521752088933777935465\ 087105268097693631130029710411911025790358847060686246458374241021581147\ 890106492227324887228769390557674391602402404684447892808331771265661249\ 609599237836674869416775109007629041876132408833104014493598227169566816\ 449420211229019607569843818246976846403372106222109911271460018795727091\ 202291388195716955434978659030719702103204619126170842465354543414701567\ 524068952435550431159518154974287074934834537166756284580628748970636794\ 009310660212374620218360296704131167200084104738640189528128189950055642\ 094530926145338074015905394853609711958324561502476063892894808204031126\ 341955371853074251128982425122577684131216815615529307926905265785280268\ 667812408442058909961278958973750947398750570012172042661754012032862029\ 918884961977167875406217009151138949626365123570485090065364347198366004\ 263791319774804169887419284152445598649955651976687290998321254969097830\ 984766425588172575017034260697283954474661252439694700932606052682937411\ 251302312246286590972111754453484273126418859529911792165382518809446519\ 261409428272844186649642117670853713871133923602756921921279028411966225\ 458548550297140639006213132919102431957804247988114442543352391149368642\ 582469258103664947094431784910598467702312891680659802024265831300355185\ 136757409081157252172335764110316167867353049308352441391755532236885923\ 366951647801666590093302401533175827935944870165538365240602338051984114\ 245886683183075441398902147092097667094667963621001278426110617585508438\ 666265790105568856585016282668328329651869947869463215948476357305552649\ 995982972160545082822452720591193287832071195332540815461158204092300043\ 605782443307305578647597121253262081357071020972957728236481754794411445\ 358493527129496169624318464475298020177945913717011875548375000761547732\ 338722346479824432875593924560123223471460424266169750032915042789355951\ 288316539262673035966176367406216824726986831844460316839573647410798515\ 038738412573774703833402478479938180178692848500720560265837851564170605\ 702915088671891243825983158445122783075126672949183477497295414215397222\ 275126233179047532190803154211089552936963487006435559441971257367855429\ 051892096555936760236124679866623011915185474420535667630849173881335496\ 682504223229317915683043524498190585245526325002187798834015721985973170\ 193985669450953918156813389105872948056892443863901966676946481475278483\ 907354040046131434007928994428830439909647288213231003779869903621806526\ 689081259608023129928613407494643224708739386116855011255294845929779401\ 793138010932232629375398461286848167090385657004916122294938132631126282\ 202745822162309175619412682724346561711699017160707133067976124711970826\ 168542607254071207287756131122501933293105390534111095126757872301479136\ 603433738332065583628501505368100608951885171584609879604523308107677566\ 204244572854625597821466032671663764135399434922786901534555093274234852\ 371041383421326893906322649238168438875300128462355257198661108221207700\ 286774698464340901428892649840008427436569649099445243014294622792848324\ 099551668187760372020551870959832914411337160233608575603567621971082565\ 489770138018821095287791637169536333984507611142770728115538598946224182\ 427273530692333438336895209830845928553363330266691025228923515443924031\ 346240072431918736070115048805997986586458277868167344075845724187881867\ 445215212895273048735652248451265075664266325407572892623831826298461559\ 679559474829187229420629661095889849049390927090347012249366133667556646\ 201366876122267060844127326325256202466830518364042609395169083130439889\ 930776229182882237810045094132391677772333441440906999233487942803676779\ 578755105627649453809249893038985199169206723515536386031352694394632734\ 211915177529166349051753459696947168181501638826936565787469541429176646\ 835397771556421120047444302459604746022589828068682495066914837908628637\ 665554173224217332375070007882799430560611213718092567413204543074642179\ 418292240470086641606085629078858727009873759688782835777442313276426639\ 202161121836179977439997406944107291688792282798393407355281529376818975\ 151262260740126564797162732971523583498261671052473400417894486391452899\ 021183689415129189054702083781398341097838152935331252915786066014685478\ 330174616346607653266298727954394971858464694402357465675175132744049957\ 313491546700084990600259553725781811088949125396838445899523034732316879\ 908796739435625061084773797376921657013683408839372119719098222056860575\ 654226820778145699129060064658426543659518856036983251375789832489449160\ 294102611830740099549505385373332925018708321594073177719083181166754978\ 977839370965357967226903253468936327428150445432723887041318524082158844\ 434272849095059405632619122027072861552089803031693091557050779398276793\ 001029301118293281870457052602945153729542119135245126536100184643404645\ 844953984445853476619750704387964222018988441947827882427681138563980259\ 654454996133622234323009754533718424673423820820098016716703866450782568\ 317793620630270046270102066315101897452248236115115299441322471922470945\ 149717390826519248625611078793217036306882783649723573330734386162829831\ 234635919774580512737616473519726390344923296118790103642368355249157332\ 507818920726310230352537362142028198549543035792675076590611231310026144\ 565729699888844943034416498915879675927052601869661889869961244648520303\ 722975638591792867986906386618910938980777191550727041841038896908087784\ 903681923726838416901961732721870445920618024687546069444520484810380194\ 976359452729011447463325219941322540392124944735526378587503509130738000\ 998303818220631160875151999463919443352900729909773136890431372625245658\ 020169583379094474847723914834896508751145982292999242323054774429135360\ 085357364965854175219910766694135974939475831360863173779714440505209202\ 261780602736847463089072031320809935494333601984772927508998426435737549\ 511259712508573460991877141743189053873836301779054273850537767006548062\ 288347688090858178401959909776466791879545883249567502126372381419254034\ 223021468188148684011988615558705963011055943949473045529593182610082312\ 172595766053449596383019191426304995562192020660812887218872946973782181\ 033191651211893996295003238433669376352039451012856760300217754199265748\ 640158265825353966321353337873629800811662249524722321306169004005337184\ 398040260830502490387248043693748696496793168700582148549710432554873014\ 008456388968339447462431200173041564818850170696331099323171888660175619\ 613110988434287986916538750414020641235790450734572602277734470127957754\ 900908871269176657854404238731071423721009810382282931929088940098577449\ 634458989155127137118136223880471103790164740928253529804344877875927369\ 041664177783186294467477968688905112814994158961975573112122542488587908\ 554216719887383367585321131245911263566131880594890824606136695567498631\ 844908354959952290635989868257086620920737911223658319968333986557107437\ 821133788539978886238846157221001799528083668730528543488295621654258175\ 815811535016766220966878387950006981080323912228416573308721095195474219\ 915676615470367704734661297552657161174150053743318860161901450740296634\ 097547638471120378243088080734569675903457131545972593567245382930983252\ 163512953222364771008765785213957497490100095905763547752838846504751512\ 089348585411341874821764128117406578035792038443215291827310689954280326\ 059634849035393878523837621427920128978717779626196226349559485452835841\ 450659380156876305345348566919827652846370610127705460070192107530687463\ 085525571005361276006309503966677335423320679582087217638951616432353552\ 232724545898244237738079586121176247297536256741077465274931270314223722\ 086336486340905512215334860468056382762294134961919882350042667505194061\ 106591869821047723294966484116529656495179017395779890696443822614211148\ 200558153480464673140233868354568393868957599984873327509348728930702353\ 914192912758480758751581374131311403169902518561713561571797224043066798\ 985169703019805347355618333762938995517306625170460707479641052469847878\ 196672845437880563721943812944809741407794131542563951128362234273122658\ 995999742022393647501125365033836442890934473729847030727290188260553944\ 817218435333375594848231442850153145886017677231580938073182862264748833\ 481101082962687011781988432606883398331447944007053387190085650387809383\ 992392278826733060402318968560944429497675215676740189634800937836642080\ 609013183367539983664846912329971654029717859029438952664154090243411383\ 914094515013977193793188205640595946521477882293636327707798967109664003\ 152380469960311175064094736862309287068018850413582924506951278525433758\ 988758101577823569162948948997787593126658854012929826044289398330867475\ 554795615124243339667814647459350312742283919443840146544046596987323751\ 532259051627319888591474439737364222939919741213849284005403690093268564\ 318297442178659130849280443494951192658115025725182798007257499737334102\ 261191524448518553121086074770630937147721839595979893394367397570074278\ 749130434850423019736848031994603787545086274601624335588236675856508210\ 507356396989887679926026124929824693618006891549669967764583897089381796\ 066723837474273909683098002970418716559057240258439547613866328578575493\ 547038470763401281167635965484453949031163460829904973708773731573680182\ 607987143816946699622556297431820927251803489995115567980207236040860811\ 341186135943425147267247245868070660616462713791470437666260535262375093\ 200491764462825085581089479006690866844509792647137358556010533347138941\ 576922332525998278038722033879646228943709240896710551610618904546474888\ 165434846655991335695479906231020195029736376025472781887503441389260125\ 565019947122918592913255328635865739488131779390700343832487595123527481\ 242190938112226582350783359972892114714244406646709779426851687850896508\ 083545258150463191417703381767724333803867779897748667310082780256863296\ 371944594302452122196059842252577378537437119960941032022764137127668693\ 910394333916721618123135314709835164527622695565262189979955727151283016\ 914977873025633055647727961757255046324225688247311843232704864318123845\ 015912429826996138187758022326964159211749584468524653816481493167359197\ 322644631821118777591011561046509159346253955451088842882123809629087913\ 520890597119506869370463018321482958689567142520910023586757473847257639\ 979836293815040315736986137559706988287261088764425681465461274969465013\ 874695223676082253338201438422655286086880658454658863332639115884492194\ 632001579940484330300463322919155334757165414984029103931796896988838891\ 904188346292961897057817025891269911407975986242238134061020202780655257\ 490163380865989895673466417935271580699490955559241658071093649278767409\ 792987977084070025203996531872452759092846231519579669277993355418823601\ 513145187866122559385195510579491896226886613692314071167312318905454935\ 620958700374195546912966694730948077297596305384434936311331600961811913\ 160484734387062149922052446475951175805673859740349651825227516331858413\ 135666306323573357628085707519261724035531636595873153909577534184340377\ 202582802849726369949971946900019312079369571882664476914443761006124842\ 403261194084443539747162692896602241816221470914910689158971476134130096\ 107118149833003446589731284632449368251258904049124191141705545492204903\ 307875790574387923551511036644030234919680424184576193854596083622379140\ 824520407771326714033308133728799427610152876470864795062708497827428057\ 754462759126680346434949888487257886357805177401298339712156954304611579\ 5297925319455154114367619919166688870235008538642233157486: # This is the electronic signature for Plouffe's Inverter # # Ceci est la signature électronique pour l'Inverseur de Plouffe # # Copyright : Simon Plouffe/Plouffe's Inverter (c) 1986. # # http://www.lacim.uqam.ca/pi #